ハイパー演算子で逆演算を考える

足し算、かけ算、べき乗はハイパー演算子(関数形式)では以下のように表される。

a + b = hyper1(a,b)
a * b = hyper2(a,b)
a ^ b = hyper3(a,b)

ハイパー演算子 (hyper operator) は、加算、乗算、冪乗を一般化した演算のための演算子である。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%91%E3%83%BC%E6%BC%94%E7%AE%97

引き算は-1をかけたものとの足し算と同じ。
これをハイパー演算子で表すと、

a - b = a + (b * -1) = hyper1(a,hyper2(b,-1))

割り算は-1乗したものとのかけ算と同じ。
これをハイパー演算子で表すと、

a / b = a * (b ^ -1) = hyper2(a,hyper3(b,-1))

この法則で行くと、指数関数の逆関数である log は以下のように表せる？

log b a = a ^ (b ^^ -1) = hyper3(a,hyper4(b,-1))

だめだ。テトレーションのhyper4(b,-1)は常に0になるから、
hyper3(a,hyper4(b,-1)) = hyper3(a,0) = a^0 = 1
となってしまう。

テトレーション (tetration) は、冪乗の次の、4番目のハイパー演算。自らの冪乗を指定された回数反復する演算である。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%88%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%A7%E3%83%B3

追記
そういえば、べき乗は可換じゃないので、逆演算は2種類だ。

2 + 3 = 5	3 = 5 - 2	2 = 5 - 3
2 * 3 = 6	3 = 6 / 2	2 = 6 / 3
2 ^ 3 = 8	3 = log 2 8	2 = 3√8

というわけで、aのb乗根の方も考える。

b√a = a ^ (b ^ -1) = hyper3(a,hyper3(b,-1))

うーん、こっちは hyper4 自体が必要ないか。